Pembahasan OSN Kota/Kabupaten (OSK) Matematika SMA 2024
Pembahasan OSN Kota/Kabupaten (OSK) Matematika SMA 2024 merupakan sesuatu yang ditunggu-tunggu bagi para pelajar SMA yang gigih dan bersemangat dalam mengasah kemampuan matematika mereka. Sebagai ajang prestisius dalam bidang matematika, OSK Matematika 2024 menjadi medan uji kompetensi yang menantang bagi siswa-siswi SMA di seluruh Indonesia. Tahun ini, OSK Matematika SMA 2024 akan menjadi titik fokus bagi banyak pelajar yang bercita-cita mengukir prestasi gemilang di kancah kompetisi ini. Dengan memahami esensi dari pembahasan OSN Kota/Kabupaten ini, para peserta akan memperoleh wawasan yang lebih mendalam tentang tantangan yang dihadapi serta strategi untuk menghadapinya dengan percaya diri.
Saat kita mengupas pembahasan OSN Kota/Kabupaten (OSK) Matematika SMA 2024, kita memasuki dunia di mana pikiran-pikiran kreatif dan analisis tajam menjadi kunci utama. OSK bukan hanya tentang menguji pengetahuan matematika, tetapi juga mengasah kemampuan logika dan pemecahan masalah. Dalam persaingan yang ketat, setiap detail materi bisa menjadi pembeda antara yang terbaik dan yang biasa-biasa saja. Mari kita cek bersama-sama soal dan pembahasan OSK Matematika 2024 berikut ini ya.
Soal Nomor 1
Sebuah persegi dibagi menjadi 2 persegi panjang, seperti terlihat pada gambar. Diketahui hasil penjumlahan kedua keliling persegi panjang tersebut adalah 60, maka luas persegi adalah…
[spoiler title=’Pembahasan’ style=’cyan’ collapse_link=’true’]
Agar jelas, perhatikan gambar berikut:
Kemudian dari gambar persegi tersebut, kita pisah menjadi dua gambar persegi panjang seperti di bawah ini:
Misalkan persegi panjang yang atas kita sebut sebagai persegi panjang 1, dan persegi panjang bawah kita sebut sebagai persegi panjang 2, maka keliling persegi panjang adalah:
$latex \displaystyle \begin{array}{l}{{K}_{1}}=2\left( {x+y} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,=2x+2y\end{array}$
$latex \displaystyle \begin{array}{l}{{K}_{2}}=2\left( {x+\left( {x-y} \right)} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,=2x+2\left( {x-y} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,=2x+2x-2y\end{array}$
Pada soal diberikan informasi penjumlahan keliling kedua persegi panjang adalah 60, sehingga:
$latex \displaystyle {{K}_{1}}+{{K}_{2}}=60$
$latex \displaystyle \begin{array}{l}2x+2y+2x+2x-2y=60\\6x=60\\x=10\end{array}$
Jadi, luas persegi adalah $latex \displaystyle {{x}^{2}}$ atau $latex \displaystyle {{10}^{2}}=100$[/spoiler]
Soal Nomor 2
Diketahui ada 6 pilihan jalan yang dapat digunakan untuk berpergian dari kota A ke kota B dan ada 8 pilihan jalan yang dapat digunakan untuk berpergian dari kota B ke kota C. Jika seseorang akan berpergian dari kota A ke kota C melalui kota B dan pulang kembali lagi ke kota A melalui jalan-jalan yang berbeda dari ketika saat pergi, banyaknya cara memilih jalan yang dapat dilalui adalah…
[spoiler title=’Pembahasan’ style=’cyan’ collapse_link=’true’]
Agar lebih jelas, kita membagi permasalahan di atas menjadi dua kasus, yaitu saat pergi dan pulang. Perhatikan gambar berikut.
Banyak pilihan jalan dari kota A ke kota C melalui kota C adalah $latex \displaystyle 6\times 8=48$ pilihan jalan. Sedangkan untuk kasus saat pulang berkurang 1 jalan dikarenakan tidak boleh melewati jalan yang sama saat pergi.
Banyak pilihan jalan dari kota C ke kota A melewati kota B adalah $latex \displaystyle 7\times 5=35$ pilihan jalan.
Jadi, seseorang akan berpergian dari kota A ke kota C melalui kota B dan pulang kembali lagi ke kota A melalui jalan-jalan yang berbeda dari ketika saat pergi ada sebanyak $latex \displaystyle 48\times 35=1.680$ cara.
[/spoiler]
Soal Nomor 3
Pada papan tertulis 90 bilangan asli 1, 1,…,1,a, b (ada sebanyak 88 bilangan 1). Hasil penjumlahan seluruh bilangan di papan adalah A dan demikian juga hasil perkalian semua bilangan di papan adalah A. Nilai A adalah…
[spoiler title=’Pembahasan’ style=’cyan’ collapse_link=’true’]
Soal ini merupakan ketegori soal $latex \require{bbox}\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid black]{Teori-Bilangan}$
Dalam soal diberikan informasi penjumlahan seluruh bilangan sama dengan A.
$latex \displaystyle \underbrace{{1+1+…+1}}_{{sebanyak\,\,88\,\,kali}}+a+b=A$
$latex \displaystyle 88+a+b=A$
Sedangkan perkalian semua bilangan juga hasilnya adalah A juga.
$latex \displaystyle \underbrace{{1\times 1\times 1\times …\times 1}}_{{sebanyak\,\,88\,\,kali}}\times a\times b=A$
$latex \displaystyle ab=A$
Karena hasil penjumlahan dan perkalian sama maka:
$latex \displaystyle ab=a+b+88$
$latex \displaystyle ab-a-b=88$ kedua ruas kita tambahkan 1
$latex \displaystyle a\left( {b-1} \right)-b+1=88+1$
$latex \displaystyle a\left( {b-1} \right)-\left( {b-1} \right)=89$
$latex \displaystyle \left( {a-1} \right)\left( {b-1} \right)=89$, dikarena faktor dari 89 adalah 1 dan 89 maka
$latex \displaystyle \begin{array}{l}a-1=1\,\,\\b-1=89\end{array}$
Nilai $latex \displaystyle a=2\,\,dan\,\,b=90$
Sehingga $latex \displaystyle A=2\times 90=180$
[/spoiler]
Soal Nomor 4
Misalkan a, b bilangan bulat positif yang tidak memiliki faktor persekutuan positif selain 1. Jika berlaku $latex \displaystyle \frac{{1+2+3+…+104}}{{3+4+5+…+106}}=\frac{a}{b}$, maka nilai $latex \displaystyle a+b$ adalah…
[spoiler title=’Pembahasan’ style=’cyan’ collapse_link=’true’]
[/spoiler]
Soal Nomor 5
Bilangan OSK adalah bilangan 4 angka yang tidak dimulai dengan angka 0 dan hasil penjumlahan semua digitnya adalah 8. Sebagai contoh, 2024 merupakan bilangan OSK. Banyaknya bilangan OSK adalah…
[spoiler title=’Pembahasan’ style=’cyan’ collapse_link=’true’]
[/spoiler]
Soal Nomor 6
Misalkan $latex \displaystyle {{u}_{1}},{{u}_{2}},{{u}_{3}},…$ suatu barisan geometri dengan $latex \displaystyle {{u}_{1}}>{{u}_{2}}$. Jika $latex \displaystyle {{u}_{2}}=8$ dan $latex \displaystyle {{u}_{5}}+{{u}_{7}}=\frac{{7{{u}_{6}}}}{4}$. Nilai dari $latex \displaystyle {{u}_{1}}$ adalah…
[spoiler title=’Pembahasan’ style=’cyan’ collapse_link=’true’]
[/spoiler]
Soal Nomor 7
Diberikan segiempat ABCD dengan luas segitiga AED sama dengan luas segitiga BEC. Jika $latex \displaystyle AB=50$, $latex \displaystyle AE=45$, dan $latex \displaystyle AC=108$, maka CD adalah…
[spoiler title=’Pembahasan’ style=’cyan’ collapse_link=’true’]
[/spoiler]
Soal Nomor 8
Banyak bilangan dua digit $latex \displaystyle \overline{{ab}}$ dengan $latex \displaystyle a,b\ne 0$ sehingga $latex \displaystyle \overline{{ab}}+\overline{{ba}}$ merupakan kelipatan 66 adalah…
[spoiler title=’Pembahasan’ style=’cyan’ collapse_link=’true’]
[/spoiler]
Soal Nomor 9
Misalkan k adalah bilangan bulat positif terkecil kelipatan 2024 yang memiliki 28 faktor positif. Sisa hasil bagi k oleh 100 adalah…
[spoiler title=’Pembahasan’ style=’cyan’ collapse_link=’true’]
[/spoiler]
Soal Nomor 10
Misalkan x, y bilangan real positif dengan $latex \displaystyle x>y$. Jika diketahui bahwa $latex \displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\left( {\frac{{545}}{{272}}} \right)xy$, maka $latex \displaystyle \frac{{x+y}}{{x-y}}$ adalah…
[spoiler title=’Pembahasan’ style=’cyan’ collapse_link=’true’]
[/spoiler]
